Deux ensembles ont même puissance s'ils peuvent être liés par une relation bijective. (Phénoménologie de l'analyse)

Pour les ensembles ou collections fini(e)s, la notion de puissance * est la même que celle du nombre d'éléments.

Mais pour les ensembles infinis, l'idée de nombre disparaît et celle de puissance demeure. Très profonde, elle présente les plus grandes difficultés pour l'établissement d'une axiomatique.

Un ensemble au sens général est un objet à priori informe qui ne prend quelque consistance qu'une fois structuré.

Deux ensembles de même puissance comme celui des entiers positifs (1 ; 2 ; 3 …) et celui des rationnels positifs (1/3 ; ½, ¾ ; 0,8; 1,336 …) se distinguent l'un de l'autre par leurs propriétés caractéristiques ou ce que l'on appelle structures .

Les structures se subdivisent en trois catégories  :
-les structures algébriques,
-les structures d'ordre,
-les structures topologiques,

Les structures algébriques  :

Parmi les premières figurent :
-les structures de groupe , commutatifs ou non.
-les structures d'anneau
-les structures d'idéal d'anneau
-les structures de corps
-les structures d'espace vectoriel …

Les structures d'ordre  : elles dérivent du concept trivial de
-le plus grand ou de plus petit , qui dominait l'antique notion de grandeur ,
-du concept d'antérieur et de postérieur , lié à l'intuition du temps ,

Elles se subdivisaient en
-relation d'ordre total et
-en relation d'ordre partiel .
Ces dernières (relations d'ordre partiel ) ont donné naissance à la structure de treillis .

Un treillis * est un ensemble tel qu'à tout couple d'éléments correspondent deux nouveaux éléments : le plus grand de leurs minorants et le plus petit de leurs majorants.

L'ensemble des nombres entiers naturels est un treillis par rapport à la théorie de la divisibilité : à tout couple d'entiers correspondent leur plus grand commun diviseur (PGCD) et leur plus petit commun multiple (PPCM).
La théorie des treillis a été évidemment crée pour l'étude de situations moins banales.

Parmi les diverses relations d'ordre total , Cantor a distingué les bons ordres .
Un ensemble est bien ordonné si chacun de ses sous-ensembles possède un premier élément relativement à l'ordre considéré.
Ainsi l'ensemble des nombres entiers positifs est bien ordonné relativement à l'ordre naturel.
L'ensemble des entiers relatifs et celui des nombres rationnels positifs ne sont pas bien ordonnés, si l'on considère ce même ordre naturel ou habituel.

Un axiome de la théorie des ensembles qui a amené de nombreuses discussions parmi les mathématiciens du début du siècle est celui qu'Ernst Zermelo (1871-1953) forgea en 1904 pour justifier une affirmation de Cantor : Tout ensemble peut-être bien ordonné ! ( Promesse analytique audible !? )

Structure topologique * :

La topologie * exploite des notions voisines de la relation d'ordre.
On y trouve des idées de sous-ensemble ouvert ou fermé , de voisinage , de sous-ensemble connexe , de point d'accumulation , de limite , etc.
Elle a pris naissance surtout dans l'analyse mathématique et plus particulièrement dans l'étude des fonctions de la variable réelle ou complexe si développée tout au long du XIX eme siècle.

La topologie générale s'est développée entre 1920 et 1940 à la suite des travaux de Maurice FRECHET (1878-1973) et de Félix HAUSDORFF (1868-1942) ; son rôle est de forger un langage « géométrique » (nous dirions aujourd'hui une « écriture » géométrique), aussi commode et aussi souple que possible pour l'expression des résultats et des problèmes d'analyse fonctionnelles, de géométrie différentielle, etc.

Un cas particulier des espaces topologiques est celui des espaces métriques, historiquement les premiers apparus.
Présentant quelques analogies avec l'espaces euclidiens, qui est leur prototype, ils sont tels qu'à toute paire d'éléments sont associés « une distance » c'est-à-dire un nombre réel positif satisfaisant à l'inégalité triangulaire : trois éléments étant considérés, la distance de deux d'entre eux est au plus égal à la somme des distances du troisième à chacun d'eux. C'est l'analyse fonctionnelle du début du siècle qui a introduit les espaces métriques : espace de Banach, espace de Hilbert, etc…